문제
크기가 N×N인 도시가 있다. 도시는 1×1크기의 칸으로 나누어져 있다. 도시의 각 칸은 빈 칸, 치킨집, 집 중 하나이다. 도시의 칸은 (r, c)와 같은 형태로 나타내고, r행 c열 또는 위에서부터 r번째 칸, 왼쪽에서부터 c번째 칸을 의미한다. r과 c는 1부터 시작한다.
이 도시에 사는 사람들은 치킨을 매우 좋아한다. 따라서, 사람들은 "치킨 거리"라는 말을 주로 사용한다. 치킨 거리는 집과 가장 가까운 치킨집 사이의 거리이다. 즉, 치킨 거리는 집을 기준으로 정해지며, 각각의 집은 치킨 거리를 가지고 있다. 도시의 치킨 거리는 모든 집의 치킨 거리의 합이다.
임의의 두 칸 (r1, c1)과 (r2, c2) 사이의 거리는 |r1-r2| + |c1-c2|로 구한다.
예를 들어, 아래와 같은 지도를 갖는 도시를 살펴보자.
0 2 0 1 0
1 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 2
0은 빈 칸, 1은 집, 2는 치킨집이다.
(2, 1)에 있는 집과 (1, 2)에 있는 치킨집과의 거리는 |2-1| + |1-2| = 2, (5, 5)에 있는 치킨집과의 거리는 |2-5| + |1-5| = 7이다. 따라서, (2, 1)에 있는 집의 치킨 거리는 2이다.
(5, 4)에 있는 집과 (1, 2)에 있는 치킨집과의 거리는 |5-1| + |4-2| = 6, (5, 5)에 있는 치킨집과의 거리는 |5-5| + |4-5| = 1이다. 따라서, (5, 4)에 있는 집의 치킨 거리는 1이다.
이 도시에 있는 치킨집은 모두 같은 프랜차이즈이다. 프렌차이즈 본사에서는 수익을 증가시키기 위해 일부 치킨집을 폐업시키려고 한다. 오랜 연구 끝에 이 도시에서 가장 수익을 많이 낼 수 있는 치킨집의 개수는 최대 M개라는 사실을 알아내었다.
도시에 있는 치킨집 중에서 최대 M개를 고르고, 나머지 치킨집은 모두 폐업시켜야 한다. 어떻게 고르면, 도시의 치킨 거리가 가장 작게 될지 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 N(2 ≤ N ≤ 50)과 M(1 ≤ M ≤ 13)이 주어진다.
둘째 줄부터 N개의 줄에는 도시의 정보가 주어진다.
도시의 정보는 0, 1, 2로 이루어져 있고, 0은 빈 칸, 1은 집, 2는 치킨집을 의미한다. 집의 개수는 2N개를 넘지 않으며, 적어도 1개는 존재한다. 치킨집의 개수는 M보다 크거나 같고, 13보다 작거나 같다.
출력
첫째 줄에 폐업시키지 않을 치킨집을 최대 M개를 골랐을 때, 도시의 치킨 거리의 최솟값을 출력한다.
1. 문제 해석
1) 맵이 주어지는데 값의 종류는 0, 1, 2 이고 의미는 각각 빈 칸(0), 집(1), 치킨 집(2)이다.
2) "치킨 거리" 정의 : 집과 가장 가까운 치킨 집 사이의 거리.
3) "도시의 치킨 거리" 정의 : 모든 집의 "치킨 거리"의 총합.
4) 치킨 집을 M 개를 조합했을 때 만들 수 있는 최소의 "도시의 치킨 거리"를 구하는 문제이다.
이 문제를 풀기 위해서는 두가지가 필요하다.
1. 도시의 치킨 거리 구하는 알고리즘
-> 각 도시마다 치킨 거리를 구하는 방법을 구해야 한다.
2 .M개의 치킨집을 조합하는 알고리즘
1,2번은 서로 맞물려있다. M개의 치킨 거리를 구해야 도시의 치킨거리를 구할 수 있기 때문이다 .
다만, 1번을 구할 때 내가 생각해낸 방법은 다음과 같다 :
도시마다 각 치킨 집까지의 거리를 저장해둔 배열을 사용한다.
그리고 도시마다 치킨 집까지의 최소거리(= 집 하나의 치킨거리 )를 모두 더하면 "도시의 치킨거리"를 구할 수 있다.
1번 알고리즘을 위 처럼 구현하면, 2번에서 조합한 치킨 집에 대해서 해당 배열에서 치킨 거리를 골라서 더하면 되게끔 만들 수 있다.
앞으로 사용할 map_distance, between_chicken은 각각 이러한 값을 담고 있다 .
map_distance: BFS 수행하는 당시의 집에 대한 모든 노드까지의 거리 반영
between_chicken : 행과 열에 대해 도시1에서 치킨집 1~ 치킨집c 까지의 거리를 나타낸다.
치킨집1 치킨집2 치킨집3 치킨집4...
도시 1
도시 2
도시 3
도시 4
...
따라서 의사코드는 다음과 같다 :
*Alg solve()
:집을 찾아서 BFS를 하고, 그 값 중 치킨집사이의 거리를 fill_distance에 저장한다. 그 다음 조합을 만들어
1. for each house in map:
Q.push(house.y , house.x)
map_distance[house.y][house.x] = 0
BFS();
fill_distance(house.num); //map_distance에 저장된 값을 이용해 between_chicken에 저장
2. DFS(0,0);
*Alg BFS()
: 각 집에 대해 BFS를 수행해서 map_distance 배열에 모든 노드 사이의 거리를 넣는다.
1. for each node in map:
visited[node] =false; //매번 반복하므로 visited 를 false로 모두 초기화해야한다.
2. while(!Q.empty())
cury = Q.y, curx = Q.x , Q.pop();
for each dir in direction: //4가지 방향에 대해 {0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}
nexty = cury + diry
nextx = curx + dirx
if(visited[nexty][nextx]= false & Cango(nexty, nextx)) //방문 전이고 맵 안이라면
Q.push(nexty, nextx)
map_distance[nexty][nextx] = map_distance[cury][curx] + 1
//큐에 넣고 배열도 갱신한다.
*Alg fill_distance(num)
: map_distance와 저장된 치킨집의 위치를 이용해서 between_chicken 을 갱신한다 .
1. for cnode in chicken:
between_chicken[num][cnode] = map_distance[cnode.y][cnode.x]
*Alg DFS(int start, int depth)
1. if(depth == M) //원하는 조합이 다 만들어진 경우 : comb의 num에 해당 (재귀 종료 조건)
for num in comb:
for each house in house:
if(between_chicken[house][num] < min)
min = between_chicken[house][num]
ans += num//각 집의 치킨거리(치킨집과의 거리 중 최소)를 더해 도시의 치킨거리를 구한다.
if(ans < result) //도시의 치킨거리 중 최솟값을 갱신 저장한다.
result = ans;
return;
2. //종료 조건이 아니라면, 치킨집 조합을 계속한다. (백트레킹)
for i <- start to chicken.size()
comb.push(i)
DFS(i+1, depth+1)
comb.pop()
* 시간복잡도 계산:
1. 각 집마다 BFS로 거리 갱신하기 :
visited로 방문하지 않는 노드만 순회, 각 집의 최대개수는 2N, 한 집에서 가는 간선의 수는 최대 4개 이므로
O(2N * 4) = O(N)
2. DFS로 조합만든 다음, 종료조건에서 도시마다 치킨거리 순회하기:
depth의 최대는 13, 만들어질 수 있는 최대 조합의 개수는 약(13C6 - 치킨집이 13개, M = 6인 경우)정도 이다. (13!/6!7! 의 수식을 갖고있겠다. = 8*9*10*11* .. 13 )
또한 각 DFS 에 대해 종료 시엔 도시(2N)를 치킨 집마다(M) 순회하므로, 아마도 약 O(최대 13C6 +2N * M)일 것이다.
이의 최대는 그렇담 13C6 = 8*9*10*,,13이고, 대충 10^6~10^7 정도의 값일 것이라 예측된다.
-> 연산횟수를 보아, 시간제한에는 걸리지 않을 것이라는 판단을 내렸다.
2. 구현
구현 시에 애를 먹었던 부분은 다름아닌 OutOfBounds 문제였다.
이는 N<=50이니까 51*51 정도면 괜찮겠지하는 안일한 생각때문에 문제가 되었다.
집이 2N개 이하라는 걸 알았는데도 계속 문제를 못 찾다니 반성해야한다.
between_chicken의 경우 행이 집의 개수와 일치하므로, 100개가 최대임을 고려하여 배열의 크기를 정해야 한다.
실제로 구현한 코드는 아래와 같다.
#include <unistd.h>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define INF 198765432
int N,M;
using namespace std;
vector <pair<int, int> > chicken;
vector <pair<int, int> > house;
int map[51][51];
int map_distance[51][51];
int between_chicken[100][14];
bool visited[51][51];
long long theanswer = 198765432;
queue <pair <int, int> > Q;
vector <int> comb;
int dir[4][2] = {{0,1}, {0,-1}, {1,0}, {-1,0}};
/*
5 2
0 2 0 1 0
1 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 2
*/
void input()
{
int n;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=1;j<=N;j++) {
cin >> n;
map[i][j] = n;
if(n == 2)
chicken.push_back(make_pair(i,j));
else if(n == 1)
house.push_back(make_pair(i, j));
}
}
}
int Cango(int y, int x)
{
if (1<= y && y <= N && 1 <= x && x <= N)
return 1;
return 0;
}
void BFS()
{
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
visited[i][j] = false;
while(!Q.empty())
{
int cury = Q.front().first;
int curx = Q.front().second;
Q.pop();
if(visited[cury][curx] == true)
continue;
visited[cury][curx] = true;
for(int i=0;i<4;i++)
{
int nexty = cury + dir[i][0];
int nextx = curx + dir[i][1];
if(Cango(nexty, nextx) && visited[nexty][nextx] == false)
{
Q.push(make_pair(nexty, nextx));
map_distance[nexty][nextx] = map_distance[cury][curx] + 1;
}
}
}
}
void fill_distance(int house)
{
for(int j=0;j<chicken.size();j++)
{
int y = chicken[j].first;
int x = chicken[j].second;
between_chicken[house][j] = map_distance[y][x];
}
}
void DFS(int start, int depth)
{
if(depth == M)
{
// cout << "comb";
// for(int i=0;i<comb.size();i++)
// cout << comb[i] << " ";
// cout << "\n";
//정해놓은 치킨집 조합에 대해서 치킨 거리를 구한다.
//궁극적으로 치킨거리의 최솟값을 구하는 것이 목표이다.
long long ans = 0;
for(int i=0;i<house.size();i++)
{
long long min = 19876543;
for(int j=0;j<comb.size();j++)
{
if(between_chicken[i][comb[j]] < min)
min = between_chicken[i][comb[j]];
}
// cout << "min : " << min <<"\n";
ans += min;
}
if(ans < theanswer)
theanswer = ans;
return;
}
for(int i = start;i<chicken.size();i++)
{
comb.push_back(i);
DFS(i+1, depth + 1);
comb.pop_back();
}
}
void check_distance()
{
cout << "check distance\n\n";
for(int i=0;i<house.size();i++)
{
for(int j=0;j<chicken.size();j++)
{
cout << between_chicken[i][j] << " " ;
}
cout << "\n";
}
}
void solve()
{
for(int i=0;i<house.size();i++)
{
//집 하나에 대해서 distance 배열을 모두 갱신하고, 이를 치킨집과의 거리에 담는다. (2N * (4))
int y = house[i].first;
int x = house[i].second;
map_distance[y][x] = 0;
Q.push(make_pair(y,x));
BFS();
fill_distance(i);
}
// check_distance();
DFS(0,0);
}
int main() {
cin >> N >> M;
//N<=50 이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 통해 각 노드마다 다른 노드까지의 거리를 미리 구해둔다.
input();
solve();
cout << theanswer;
}