백준 14888 - 연산자 끼워넣기 (백트레킹)

공부 근황)

요즘 다이나믹 프로그래밍을 공부하고 있는데, 기본적으로 완전탐색에서부터 구현방법을 생각하되,

어떻게 메모이제이션을 활용해 시간 복잡도를 줄일 수 있을지 고민하는 과정이 필수적이다. 

다만 완전 탐색(보통은 재귀함수)을 생각해내는 과정이 나에게는 쉽지 않은 과정이었기 때문에, 백트레킹을 다시 연습하기로 했다. 

 

백준 14888 

시간 제한	메모리 제한
2 초	512 MB

 

문제

N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.

우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.

예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

• 1+2+3-4×5÷6
• 1÷2+3+4-5×6
• 1+2÷3×4-5+6
• 1÷2×3-4+5+6

식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.

• 1+2+3-4×5÷6 = 1
• 1÷2+3+4-5×6 = 12
• 1+2÷3×4-5+6 = 5
• 1÷2×3-4+5+6 = 7

N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다. 

출력

첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.

 

 

 

1. 문제 해석

처음 문제를 해석할 때는 숫자들 사이에 연산자가 끼워들어가는 것이니

색깔이 4종류이고, 같은 색깔 공이 여러 개 일 수 있을 때 이 공을 배열하는 경우의 수를 추적하면 될 것이라고 생각했다. 

숫자가 N개 이면 그 사이에 들어갈 연산자의 수는 N-1개이니, N-1개의 공을 배열하는 경우의 수인 것이다. 

 

실제로 경우의 수를 계산하면, (N-1)!/ (색깔이 같은 공들을 배열하는 경우의 수) 로 계산할 수 있다. (그림에서는 5!/2! 에 해당)

 

지금 돌이켜 생각해보면 다른 방법도 가능하다. 

연산자를 배열하기보다도, 어떤 연산자를 사용할 것인지 남은 연산자의 개수를 파악하면서 들어가면 그만이다. 

왜 다른 방법을 이야기했냐면, 

 

당연하지만 이 문제는 사칙연산 문제이기 때문에 아무리 연산자를 잘 배열했다고 하더라도, 마지막에 연산 할 때 우선순위를 고려하면서 계산하지 않으면 안된다는 점이다. 이 때문에 식을 다 완성하고 나서도 곱하기와 나누기를 먼저 제대로 계산하기 위해서 어떻게 코드를 짜야할지 난감해지는 문제가 있다. 

그래서 생각해 낼 수 있는 가장 좋은 방법은, 어떤 연산자를 사용할 지 결정 한다음, 

결과 값을 재귀함수에 함께 넣어주면서 추적할 수 있게끔 하는 방법이다. 

 

즉, 숫자는 앞에서부터 차례로 접근하되, 다음 연산자만 잘 선택해주면서 깊이 탐색을 진행할 수 있는 것이다.   

이때 calculate (result, depth)  = 깊이가 depth인, 차례에 이전까지 연산결과가 result이다. 

이 때 눈 여겨 볼 점은, result를 인자로 넣음으로써 매 순간에 연산을 선택해서 인자로 넣을 수 있다는 점, 

그리고 'depth'는 탐색의 깊이이기도 하지만 숫자배열에서의 인덱스값(몇 번째 숫자를 연산 할지)도 의미한다는 점이다.

 

 

 

이를 토대로 caluate 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다. 

 

caculate(result, depth) = 


caculte(result + num[depth] , depth + 1) or 
caculte(result - num[depth] , depth + 1) or 
caculte(result * num[depth] , depth + 1) or
caculte(result / num[depth] , depth + 1)

물론 이 과정에서 사용할 수 있는 연산자의 개수를 확인하는 과정도 필요하다. 

 

 

2.  구현

위를 토대로 구현한 코드는 다음과 같다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int N;
int num[12];
int oper[4];
long long  fmax = -1000000000, fmin = 1000000000;


void calculate(long long  result, int idx)
{
    if (idx == N)
    {
//        cout << "result : " << result<<"\n";
        fmin = min(fmin, result);
        fmax = max(fmax, result);
        return;
    }
    for(int i=0; i < 4; i++)
    {
        if(oper[i] > 0)
        {
            oper[i]--;
            if(i == 0)
                calculate(result + num[idx], idx + 1);
            else if(i == 1)
                calculate(result - num[idx], idx + 1);
            else if(i == 2)
                calculate(result * num[idx], idx + 1);
            else
                calculate(result / num[idx], idx + 1);
            oper[i]++;
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; i++)
        cin >> num[i];
    for (int i = 0; i < 4; i++)
        cin >> oper[i];

   calculate(num[0], 1);
    cout << fmax <<"\n";
    cout << fmin;
}