백준 2805번: 나무자르기 - 이분탐색

문제

상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.

목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.

상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 나무의 수 N과 상근이가 집으로 가져가려고 하는 나무의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

둘째 줄에는 나무의 높이가 주어진다. 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다. 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

출력

적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

 

 

1. 문제해석

나무를 자르는 높이를 완전 탐색 -> 더 효율적인 탐색인 이진탐색을 수행한다. 

 

 

1. 2. 이진탐색

이진탐색은 while 문 혹은 재귀로 구현할 수 있다. 

그런데 재귀로 구현할 때는 문제가 존재한다. 

만약 원하는 값을 찾는 이진 탐색이라면, 원하는 값을 찾자마자 종료되지만, 

이번에 구현하는 이진탐색은 원하는 값에 해당하더라도 그 보다 더 높이 나무의 높이를 높여볼 수 있는지 확인하기 위해서 한번 더 탐색을 진행한다. 그렇게 되면 한단계 더 진행했을 때는 원하는 나무 높이보다 더 적게 잘려서 다시 돌아가고 싶어도, 이미 한단계 더 진행했기 때문에 좀 더 복잡한 사고 과정을 거쳐야 한다.

 

따라서, while 문안에서 ret값을 저장하면서 하면 좋다. 

1.3. 이진탐색의 구현

int binarySearch()
{
	int height = 0;//자르는 나무의 높이
    int first = 0; // 나무 자르는 높이의 최솟값. 
    int last = N;//나무 자르는 높이의 최댓값 == 존재하는 나무 중 최대 높이
    
    //이진탐색은 순차적으로 정렬된 배열에서 진행하는 것이 기본인데 여기서는 
    //first~last사이의 값을 접근하면서 이미 정렬되어있다고 보아도 무방하다. 
	while(first <= last)
	{	
   		height = (first + last)/2;
    	ret = cutted(height);//height 에 맞게 나무를 잘랐을 때 잘린 길이 합
		if(ret > target) //원하는 길이보다 더 클 때 == height를 더 높여볼 수 있다.== 오른쪽 구간에서 탐색
	    { 
        	int save = ret;
            first = mid +1;
    	}	
        else 
        	last = mid -1; //height를 왼쪽 구간에서 탐색한다.
	}
	return save;
}

이렇게 되면 한 단계 더 진행했더라도 저장되었던 save 값을 반환하면서 원하는 값을 얻을 수 있다 .

 

1.3. mid+1, mid -1 ?

이진 탐색을 할 때 꼭 구간을 겹치지 않게 first를 mid + 1, last를 mid -1 로 해야할까?

그냥 mid로 바꿔주면서 조금 겹치게 탐색을 해도 문제가 없지 않을까? 하는 의문이 들때가 있다. 

 

하지만 답은 그렇다이다.

그 이유는 무한루프에 빠질 수 있기 때문이다.

 

생각해보면  first <= last , 즉 등호가 있는 동안 탐색을 진행하는데 

탐색이 종료되는 시기는 first > last 조건일 때이다. 

 

first <= mid <= last 인데 아무리 first에 최대로 들어갈 수 있는 mid를 넣어도 last보다 커질 수가 없다.

 

따라서 first > last 인 종료조건에 도달하기 위해서라도 mid + 1(혹은 mid-1) 로 갱신하면서 구간을 설정해주어야 하는 것이다! 

 

 

 

2. 구현하기

구현한 코드는 다음과 같다. 

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
vector <int> t;


using namespace std;
long long tree, target;
long long MIN = 2147483647, MAX = 0;

long long  cutted(int height)
{
    long long  ret= 0;
    for(int i=1;i<=tree;i++)
    {
        if(t[i] > height)
            ret += t[i] - height;
    }
    return ret;
}

long long  find(long long l, long long r)
{
    long long mid;
    long long ret = 0;
    while(l<=r)
    {
        mid = (l+r)/2;
        if(cutted(mid) >= target)
        {
            ret = mid;
            l = mid+1;
        }
        else
            r = mid-1;

    }
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> tree >> target;
    t.resize(tree + 1, 0);
    for(int i=1;i<=tree;i++) {
        cin >> t[i];
        if(MIN > t[i])
            MIN = t[i];
        if(MAX < t[i])
            MAX = t[i];
    }
    printf("%lld\n", find(0, MAX));
}